Noether's theorem for quasi conservative mechanical systems

by Prof. Đorđe Mušicki (Matemtical Institute SASA Belgrade)

Wednesday 29 Dec 2010, 18:00 → 19:00 Europe/Belgrade

301 F (Mathematical Institute)

Ako se Lagranževe jednačine za nekonzervativne sisteme uvođenjem novog lagranžijana, koji je jednak proizvodu izvesne funkcije vremena f(t) i prvobitnog lagranžijana, mogu svesti na Ojler-Lagranževe jednačine, takvi nekonzervativni sistemi nazvani su kvazikonzervativni. Uslov da se neki nekonzervativan sistem može smatrati kao kvazikonzervativan je postojanje bar jednog partikularnog rešenja koje proizlazi iz sistema od n diferencijalnih jednačina sa jednom nepoznatom funkcijom – navedenom funkcijom  f(t). Za takve sisteme na osnovu Lagranževih jednačina proučeni su, između ostalog, i odgovarajući energijski odnosi i pokazano je da pod određenim uslovima važe izvesni integrali kretanja, ekvivalentni Vujanovićevim zakonima održanja energiji sličnih veličina (energy-like conservation laws).

U ovom saopštenju proučeni su energijski odnosi sa drugog, opštijeg gledišta, na osnovu odgovarajuće, prilagođene teoreme Emi Neter. Polazeći od totalne varijacije dejstva i odgovarajućih Lagranževih jednačina i ponavljajući uobičajeni postupak, formulisana je Neterina teorema za ovakve sisteme, koja se od uobičajene formulacije razlikuje samo po tome što umesto prvobitnog lagranžijana figuriše novi, jednak njegovom proizvodu sa funkcijom f(t). Formulisan je odgovarajući uslov za postojanje integrala kretanja (tzv. osnovna Neterina identičnost) i trensformisan u pogodniji oblik, na osnovu čega su pod određenim uslovima dobijeni odgovarajući integrali kretanja, za čije je postojanje neophodno da postoji bar jedno partikularno rešenje jedne parcijalne diferencijalne jednačine. Dobijeni rezultati su u potpunoj saglasnosti sa rezultatima dobijenim na osnovu Lagranževih jednačina, a sama modifikovana Neterina teorema je ekvivalentna Vujanović-Đukićevoj formulaciji ove teoreme za nekonzervativne sisteme, dobijenoj transformacijom Dalamber-Lagranževog principa.